SPLDV

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah sebuah sistem / kesatuan dari beberapa Persamaan Linear Dua Variabel yang sejenis. Jadi, sebelum mempelajari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) lebih jauh kita pelajari terlebih dahulu mengenai hal – hal yang berhubungan dengan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV).

A. Suku, Koefisien, Konstanta dan Variabel
Sebelum mempelajari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) kita terlebih dahulu harus mengenal apa yang dimaksud dengan Suku, Koefisien, Konstanta, dan Variabel.
Variabel adalah suatu peubah/ pemisal/ pengganti dari suatu nilai atau bilangan yang biasanya dilambangkan dengan huruf/simbol.
Contoh :
Andi memiliki 5 ekor kambing dan 3 ekor sapi.

Jika ditulis dengan memisalkan: a = kambing dan b = sapi
Maka: 5a + 3b, dengan a dan b adalah variabel

Koefisien adalah sebuah bilangan yang menyatakan banyaknya jumlah variabel yang sejenis. Koefisien juga dapat dikatakan sebagai bilangan di depan variabel karena penulisan untuk sebuah suku yang memiliki variabel adalah koefisien didepan variabel.
Contoh :
Andi memiliki 5 ekor kambing dan 3 ekor sapi.

Jika ditulis dengan memisalkan: a = kambing dan b = sapi
Maka: 5a + 3b, dengan 5 dan 3 adalah koefisien
Dengan 5 adalah koefisien a dan 3 adalah koefisien b

Konstanta adalah suatu bilangan yang tidak diikuti oleh variabel sehingga nilainya tetap (konstan) untuk nilai peubah (variabel) berapapun.
Contoh :
4p + 3q – 10.
– 10 adalah suatu konstanta karena berapapun nilai p dan q, nilai -10 tidak ikut terpengaruh sehingga tetap (konstan)

Suku adalah suatu bagian dari bentuk aljabar yang dapat terdiri dari variabel dan koefisien atau berbentuk konstanta yang tiap suku dipisahkan dengan tanda operasi penjumlahan.
Contoh :
5x- y + 7 , suku – sukunya adalah : 5x, -y, dan 7

B. Persamaan Linear Dua Variabel
Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) adalah sebuah bentuk relasi sama dengan pada bentuk aljabar yang memiliki dua variabel dan keduanya berpangkat satu. Dikatakan Persamaan Linear karena pada bentuk persamaan ini jika digambarkan dalam bentuk grafik, maka akan terbentuk sebuah grafik garis lurus (linear).
Ciri – ciri PLDV:
1. Menggunakan relasi sama dengan ( = )
2. Memiliki dua variabel berbeda
3. Kedua variabelnya berpangkat satu

Contoh :
2x – 5y = 2 adalah (PLDV)
3x + 5y > 10 adalah (Bukan PLDV) karena menggunakan relasi “>”

Dalam kehidupan sehari – hari, banyak permasalahan yang berhubungan dengan konsep persamaan linear dua variabel. Contohnya:
Andi membeli 2 buku tulis dan 3 pensil = Rp 20.000,00 .Berapakah harga untuk masing – masing barang tersebut?

Permasalahan di atas adalah salah satu permasalahan yang berhubungan dengan PLDV karena terdapat 2 variabel yang berbeda yakni harga buku tulis dan harga pensil. Jika dimisalkan a = harga buku tulis, dan b = harga pensil. Maka, permasalahan diatas dapat diubah dalam bentuk matematika sebagai berikut:
2a + 3b = 20.000
Dengan a dan b adalah suatu peubah dari harga barang yang berbeda.

Pada permasalahan PLDV seperti ini, kedua variabel nilai akan saling mempengaruhi sehingga untuk satu bentuk PLDV, kita dapat menyelesaikannya dengan cara menebak langsung kemungkinan kemungkinannya. Perhatikan tabel berikut!
Harga Buku Tulis     Harga Pensil
Rp 2.000,00             Rp 6.000,00
Rp 2.500,00             Rp 5.000,00
Rp 4.000,00             Rp 4.000,00
Rp 5.500,00             Rp 3.000,00
Dst

Tabel diatas menunjukkan kemungkinan – kemungkinan harga buku dan pensil sehingga untuk pembelian 2 buku tulis dan 3 pensil adalah Rp 20.000,00.

Dicoba!
Jika Deni membeli 5 ekor ayam dan 2 ekor bebek dengan harga Rp 250.000,00. Maka harga ayam dan bebek masing – masing adalah …

C. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Seperti pada penjelasan sebelumnya, Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah sebuah sistem / kesatuan dari beberapa Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) yang sejenis. Persamaan Linear Dua Variabel yang sejenis yang dimaksud disini adalah persamaan – persamaan dua variabel yang memuat variabel yang sama.
Contoh :
Persamaan (i) ; 2x + 3y = 12
Persamaan (ii) ; x – 2y = -1
Kedua persamaan diatas dikatakan sejenis karena memuat variabel variabel yang sama yakni x dan y.

Jika pada PLDV, dapat dikatakan bahwa PLDV memiliki penyelesaian lebih dari satu asalkan penyelesaian tersebut memenuhi nilai pada PLDV. Jika pada SPLDV, persamaan – persamaan yang ada akan saling mengikat nilainya sehingga himpunan penyelesaiannya harus memenuhi disemua PLDV yang membentuk SPLDV.
Contoh :
Jika 2x + 3y = 12 dan x – 2y = – 1, maka nilai x dan y masing-masing adalah …

Perhatikan tabel penyelesaian berikut!
Pers. 2x + 3y = 12      Pers. x – 2y = -1
x            y                       x           y
0           4                       0          ½
1          10/3                   1          1
2          8/3                     2         3/2
3          2                        3         2
5          2/3                     4        5/2
6          0                       -1        0
Dst                                    Dst

Pada masing – masing PLDV memiliki banyak penyelesaian, namun untuk himpunan penyelesaian yang benar pada SPLDV adalah penyelesaian yang ada di semua/ di setiap PLDV. Pada contoh diatas, himpunan penyelesaiannya adalah x = 3 dan y = 2

Dicoba!
Jika 2a + b = 7 dan 2a – b = 5. Maka nilai a dan b masing – masing adalah …
Jika a + b = 3 dan 2a + 2b = 6. Maka nilai a dan b masing – masing adalah …

Dari contoh diatas, dapat disimpulkan bahwa syarat sebuah Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dapat Memiliki satu penyelesaian jika:
1. Terdapat PLDV lebih dari 1 dan sejenis
2. PLDV yang membentuk SPLDV bukan PLDV yang sama

D. Cara Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV
Selain cara sebelumnya terdapat cara/ metode lain untuk menentukan himpunan penyelesaian dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). Diantaranya:
1) Metode Substitusi (Mengganti)
Metode ini adalah metode yang menggunakan nilai atau persamaan dari sebuah variabel untuk menggantikan variabel tersebut.
Contoh :
Jika 2a + b = 7 dan 2a – b = 5. Maka nilai a dan b masing – masing adalah …

Jawab:
2a + b = 7 ………. pers. i
2a – b = 5 ………. pers. ii
Pers. i dapat diubah bentuk menjadi b = 7 – 2a, sehingga kita dapat mengganti b pada pers. ii dengan bentuk tersebut.
b = 7 – 2a ……… pers. i
2a – b = 5………. pers. ii
2a – (7 – 2a) = 5 ……………… b diganti 7 – 2a
2a – 7 + 2a = 5
4a = 5 + 7
a = 12/4
a = 3

nilai a adalah 3, ini dapat kita substitusikan ke pers. i atau pers. ii
b = 7 – 2a
b = 7 – 2(3)
b = 7 – 6
b = 1

Dicoba!
Tentukan nilai p dan q jika 2p – q = 5 dan p + 3q = – 1!

2) Metode Eliminasi (Menghilangkan)
Metode eliminasi adalah metode yang menggunakan cara menghilangkan sebuah variabel dari dua persamaan dengan mengoperasikan kedua persamaan. Yang dimaksud mengoperasikan persamaan disini adalah kita dapat menjumlahkan persamaan atau mengurangkan persamaan satu dengan persamaan lainnya sehingga salah satu variabelnya habis / hilang.
Contoh :
Tentukan nilai p dan q jika 2p – q = 5 dan p + 3q = – 1!

Jawab :
Dua persamaan tersebut dapat langsung kita jumlah atau kurangkan, tapi jika langsung dijumlah atau dikurangkan tidak akan ada variabel yang hilang sehingga kita harus menyamakan koefisien salah satu variabel dari kedua PLDV tersebut. Misalkan kita menyamakan koefisien p sehingga p nanti dapat hilang.
2p – q = 5    (x 1)      2p – q = 5
p + 3q = – 1 (x 2)      2p + 6q= -2 –
                                  0 – 7q = 7
                                         q = (-7)/7
                                         q = -1

setelah nilai q diperoleh, kita dapat mencari p dengan menghilangkan q dengan cara yang sama seperti saat menghilangkan p.
2p – q = 5    (x 3)   6p–3q = 15
p + 3q = – 1 (x 1)    p + 3q = -1 +
                              7p + 0 = 14
                                      p = 14/7
                                      p = 2

3) Metode Campuran (Eliminasi – Substitusi)
Metode campuran ini adalah metode yang menggaabungkan metode eliminasi dan metode substitusi yakni dengan metode eliminasi sebagai metode awal untuk menentukan nilai salah satu variabel dan kemudian nilai variabel tersebut disubstitusikan untuk menentukan nilai variabel yang lain.
Contoh :
Tentukan nilai p dan q jika 2p – q = 5 dan p + 3q = – 1!

Jawab:
2p – q = 5 … (pers. i)
p + 3q = – 1 … (pers. ii)
Eliminasi per (i) dan pers (ii)
2p – q = 5    (x 1)      2p – q = 5
p + 3q = – 1 (x 2)      2p + 6q= -2 –
                                  0 – 7q = 7
                                         q = (-7)/7
                                         q = -1

Setelah nilai q diperoleh, kita substitusikan ke salah satu persamaan.
p + 3q = -1
p + 3(-1) = -1
p – 3 = -1
p = -1 + 3
p = 2
HP = {2; -1}

STATISTIKA

STATISTIKA

Statistika adalah cabang dari matematika yang mempelajari cara mengumpulkan data, menyusun data, menyajikan data, mengolah dan menganalisis data, menarik kesimpulan, dan menafsirkan parameter.
Kegiatan Statistika meliputi:

1. Mengumpulkan data
2. Menyusun data
3. Menyajikan data
4. Mengolah dan Menganalisis data
5. Menarik kesimpulan
6. Menafsirkan

1. Pengertian Datum dan Data

    Di Kelas IX Anda telah mempelajari pengertian datum dan data. Agar tidak lupa pelajari uraian berikut.
Misalkan, hasil pengukuran berat badan 5 murid adalah 43 kg, 46 kg, 44 kg, 55 kg, dan 60 kg. Adapun tingkat kesehatan dari kelima murid itu adalah baik, baik, baik, buruk, dan buruk. Data pengukuran berat badan, yaitu 43 kg, 46 kg, 44 kg, 55 kg, dan 60 kg disebut fakta dalam bentuk angka. Adapun hasil pemeriksaan kesehatan, yaitu baik dan buruk disebut fakta dalam bentuk kategori. Selanjutnya, fakta tunggal dinamakan datum. Adapun kumpulan datum dinamakan data.

2. Pengertian Populasi dan Sampel 
Misal, seorang peneliti ingin meneliti tinggi badan rata-rata siswa SMA di Kabupaten Tegal. Kemudian, ia kumpulkan data tentang tinggi badan seluruh siswa SMA di Kabupaten Tegal. Data tinggi badan seluruh siswa SMA di Kabupaten Tegal disebut populasi. Namun, karena ada beberapa kendala seperti keterbatasan waktu, dan biaya, maka data tinggi badan seluruh siswa SMA di Kabupaten Tegal akan sulit diperoleh. Untuk mengatasinya, dilakukan pengambilan tinggi badan dari beberapa siswa SMA di Kabupaten Tegal yang dapat mewakili keseluruhan siswa SMA di Kabupaten Tegal. Data tersebut dinamakan data dengan nilai perkiraan, sedangkan sebagian siswa SMA yang dijadikan objek penelitian disebut sampel. Agar diperoleh hasil yang berlaku secara umum maka dalam pengambilan sampel, diusahakan agar sampel dapat mewakili populasi.


3. Pengumpulan Data

Menurut sifatnya, data dibagi menjadi 2 golongan, yaitu
sebagai berikut.
1)  Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau
     bilangan. Data kuantitatif terbagi atas dua bagian, yaitu
     data cacahan dan data ukuran.
     a) Data cacahan (data diskrit) adalah data yang diperoleh
         dengan cara membilang. Misalnya, data tentang
         banyak anak dalam keluarga.
     b) Data ukuran (data kontinu) adalah data yang diperoleh
         dengan cara mengukur. Misalnya, data tentang
         ukuran tinggi badan murid.
2)  Data kualitatif adalah data yang bukan berbentuk bilangan.
     Data kualitatif berupa ciri, sifat, atau gambaran dari kualitas
     objek. Sebagai contoh, data mengenai kualitas pelayanan,
     yaitu baik, sedang, dan kurang.
Cara untuk mengumpulkan data, antara lain adalah melakukan
wawancara, mengisi lembar pertanyaan (questionery), melakukan pengamatan (observasi), atau menggunakan data yang sudah ada, misalnya rataan hitung nilai rapor.

Menyajikan Data dalam Bentuk Diagram
1. Diagram Garis

Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus disebut diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan.
Contoh:

Berikut simulasi diagram garis, kamu dapat mengubah-ubah diagram garis yang ada:
2. Diagram Batang
Diagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang menunjukkan keterangan-keterangan dengan batang-batang tegak atau mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah Berikut simulasi diagram batang, kamu dapat mengubah-ubah diagram batang yang ada
3. Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan bagian-bagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran. Perhatikan contoh berikut ini. Berikut simulasi diagram lingkaran, kamu dapat mengubah-ubah diagram lingkaran yang ada

Penyajian Data dalam Bentuk Tabel Distribusi Histogram, Poligon dan Ogive
 1. Distribusi Frekuensi Tunggal
Data tunggal seringkali dinyatakan dalam bentuk daftar bilangan, namun kadangkala dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Tabel distribusi frekuensi tunggal merupakan cara untuk menyusun data yang relatif sedikit.

2. Distribusi Frekuensi Kelompok 
Data yang berukuran besar (n > 30) lebih tepat disajikan dalam tabel distribusi frekuensi kelompok, yaitu cara penyajian data yang datanya disusun dalam kelas-kelas tertentu. Langkah-langkah penyusunan tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut.

• Langkah ke-1 menentukan Jangkauan (J) = Xmax - Xmin

• Langkah ke-2 menentukan banyak interval (K) dengan rumus "Sturgess" yaitu: K= 1 + 3,3 log n dengan n adalah banyak data. Banyak kelas harus merupakan bilangan bulat positif hasil pembulatan ke bawah.

• Langkah ke-3 menentukan panjang interval kelas (I) dengan menggunakan rumus:

                  J
          I = ––––
                 K

• Langkah ke-4 menentukan batas-batas kelas. Data terkecil harus merupakan batas bawah interval kelas pertama atau data terbesar adalah batas atas interval kelas terakhir.

• Langkah ke-5 memasukkan data ke dalam kelas-kelas yang sesuai dan menentukan nilai frekuensi setiap kelas dengan sistem turus.

3. Histogram 
Dari suatu data yang diperoleh dapat disusun dalam tabel distribusi frekuensi dan disajikan dalam bentuk diagram yang disebut histogram. Jika pada diagram batang, gambar batang-batangnya terpisah maka pada histogram gambar batang-batangnya berimpit.
4. Poligon 
Apabila pada titik-titik tengah dari histogram dihubungkan dengan garis dan batang-batangnya dihapus, maka akan diperoleh poligon frekuensi. Berdasarkan contoh di atas dapat dibuat poligon frekuensinya seperti gambar berikut ini.
Berikut simulasi histogram dan poligon
5. Distribusi Frekuensi Kumulatif 
Daftar distribusi kumulatif ada dua macam, yaitu sebagai berikut.
a. Daftar distribusi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas).
b. Daftar distribusi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah).
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh data berikut ini.

6. Ogive (Ogif)
Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi kumulatif lebih dari disebut poligon kumulatif. Poligon kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya disebut ogif. Ada dua macam ogif, yaitu sebagai berikut.
a. Ogif frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogif positif.
b. Ogif frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogif negatif.

Median
2. Median

1) Median untuk data tunggal
    Median adalah suatu nilai tengah yang telah diurutkan. Median dilambangkan Me.
    Untuk menentukan nilai  Median  data tunggal dapat dilakukan dengan cara:
    a) mengurutkan data kemudian dicari nilai tengah,
    b) jika banyaknya data besar, setelah data diurutkan, digunakan rumus:

      Untuk n ganjil  : Me = X1/2(n + 1)

                                           Xn/2  + Xn/2 +1
      Untuk n genap: Me =   ––––––––––––
                                                   2

      Keterangan:
      xn/2 = data pada urutan ke-n/2 setelah diurutkan.

      Contoh:
      Tentukan median dari data: 2, 5, 4, 5, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 8
      Jawab:
      Data diurutkan menjadi: 2, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9
      Median = data ke-(13 + 1)/2 = data ke-7
      Jadi mediannya = 6

2) Median untuk data kelompok
Jika data yang tersedia merupakan data kelompok, artinya data itu dikelompokkan ke dalam interval-interval kelas yang sama panjang. Untuk mengetahui nilai mediannya dapat ditentukan dengan rumus berikut ini.

Keterangan:
Kelas median adalah kelas yang terdapat data X1/2 n
L = tepi bawah kelas median
c = lebar kelas
n = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kurang dari sebelum kelas median
f  = frekuensi kelas median

Modus
3. Modus

Modus ialah nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi. Jika suatu data hanya mempunyai satu modus disebut unimodal dan bila memiliki dua modus disebut bimodal, sedangkan jika memiliki modus lebih dari dua disebut multimodal. Modus dilambangkan dengan Mo.

1) Modus data tunggal
    Modus dari data tunggal adalah data yang sering muncul atau data dengan
    frekuensi tertinggi.
    Perhatikan contoh soal berikut ini.
    Contoh:
    Tentukan modus dari data di bawah ini.
    2, 1, 4, 1, 1, 5, 7, 8, 9, 5, 5, 10
    Jawab:
    Data yang sering muncul adalah 1 dan 5. Jadi modusnya adalah 1 dan 5.

2. Modus data kelompok
    Modus data kelompok dirumuskan sebagai berikut:

 Keterangan:
   L   = tepi bawah kelas modus
   c    = lebar kelas
   d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
   d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya 
 

Kuartil

Kuartil (Q)

Seperti yang sudah dibahas sebelumnya, bahwa median membagi data yang telah diurutkan menjadi dua bagian yang sama banyak. Adapun kuartil adalah membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak.
1) Kuartil data tunggal
    Urutkan data dari yang kecil ke yang besar, kemudian tentukan kuartil dengan rumus sebagai berikut:

Contoh:
    Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data : 3, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 6, 9, 10, 8, 3, 7, 12.
     Jawab:
     Langkah 1: urutkan data dari  kecil ke besar sehingga diperoleh
                      3, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12.
                                                 1(15+1)
     Langkah 2: Letak data Q1=–––––––– = 4
                                                      4
                      Jadi Q1 terletak pada data ke-empat yaitu 4

                                                 2(15+1)
     Langkah 3: Letak data Q2=–––––––– = 8
                                                      4
                      Jadi Q2 terletak pada data ke-delapan yaitu 7

                                                 3(15+1)
     Langkah 4: Letak data Q1=–––––––– = 12
                                                      4
                      Jadi Q3 terletak pada data ke-duabelas yaitu 8


2) Kuartil data kelompok

Nilai kuartil dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:
Qi = kuartil ke-i (1, 2, atau 3)
L  = tepi bawah kelas kuartil ke-i
n = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartil
c = lebar kelas
f = frekuensi kelas kuartil

Ukuran Penyebaran Data
Ukuran pemusatan yaitu mean, median dan modus, merupakan informasi yang memberikan penjelasan kecenderungan data sebagai wakil dari beberapa data yang ada. Adapun ukuran penyebaran data memberikan gambaran seberapa besar data menyebar dari titik-titik pemusatan.

1. Jangkauan (Range)

Ukuran penyebaran yang paling sederhana (kasar) adalah jangkauan (range) atau rentangan nilai, yaitu selisih antara data terbesar dan data terkecil.
1) Range data tunggal
    Untuk range data tunggal dirumuskan dengan:

    R = xmaks – xmin

    Contoh :
    Tentukan range dari data-data di bawah ini.
     6, 7, 3, 4, 8, 3, 7, 6, 10, 15, 20

     Jawab:
     Dari data di atas diperoleh xmaks = 20 dan xmin = 3
     Jadi, R = xmaks – xmin
                 = 20 – 3 = 17

2) Range data kelompok
Untuk data kelompok, nilai tertinggi diambil dari nilai tengah kelas tertinggi dan nilai terendah diambil dari nilai kelas yang terendah.

2. Simpangan Rata-Rata (Deviasi Rata-Rata)

    Simpangan rata-rata suatu data adalah nilai rata-rata dari selisih setiap data dengan nilai rataan hitung.

     1) Simpangan rata-rata data tunggal
         Simpangan rata-rata data tunggal dirumuskan sebagai berikut.

   2) Simpangan rata-rata data kelompok 
         Simpangan rata-rata data kelompok dirumuskan:
         

3. Simpangan Baku (Deviasi Standar) dan Ragam

Sebelum membahas simpangan baku atau deviasi standar, perhatikan contoh berikut. Kamu tentu tahu bahwa setiap orang memakai sepatu yang berbeda ukurannya. Ada yang berukuran 30, 32, 33, ... , 39, 40, dan 41. Perbedaan ini dimanfaatkan oleh ahli-ahli statistika untuk melihat penyebaran data dalam suatu populasi. Perbedaan ukuran sepatu biasanya berhubungan dengan tinggi badan manusia. Seorang ahli matematika Jerman, Karl Ganss mempelajari penyebaran dari berbagai macam data. Ia menemukan istilah deviasi standar untuk menjelaskan penyebaran yang terjadi. Saat ini, ilmuwan menggunakan deviasi standar atau simpangan baku untuk mengestimasi akurasi pengukuran. Deviasi standar adalah akar dari jumlah kuadrat deviasi dibagi banyaknya data.

1) Simpangan baku dan ragam data tunggal
    Simpangan baku/deviasi standar data tunggal dirumuskan sebagai berikut. 

2) Ragam dan Simpangan baku data kelompok Ragam () dan Simpangan baku (s) data kelompok 
dirumuskan sebagai berikut.

Pembelajaran kelas XI.IPA.1 SMA PGRI 268 PKL kersik

Silahkan ditonton
https://youtu.be/txNfhd3JAOI

Media interaktif

Semoga bermanfaat..
Silahkan ditonton
https://youtu.be/qE7_8DGu03o

Media sesua gaya belajar

Jangan lupa ditonton dan subcribe ya teman2..
https://youtu.be/JuaKBa2t7Wc

    GAYA BELAJAR

Macam-Macam Gaya Belajar

Kita tidak bisa memaksakan seorang anak harus belajardengan suasanan dan cara yang kita inginkan karena masing masing anak memiliki tipe atau gaya belajar sendiri-sendiri. Kemampuan anak dalam menangkap materi dan pelajaran tergantung dari gaya belajarnya.

Banyak anak menurun prestasi belajarnya disekolah karena dirumah anak dipaksa belajar tidak sesuai dengan gayanya. Anak akan mudah menguasai materi pelajaran dengan menggunakan cara belajar mereka masing-masing.

Menurut DePorter dan Hernacki (2002), gaya belajar adalah kombinasi dari menyerap, mengatur, dan mengolah informasi. Terdapat tiga jenis gaya belajar berdasarkan modalitas yang digunakan individu dalam memproses informasi (perceptual modality).

Pengertian Gaya Belajar dan Macam-macam Gaya Belajar

 1.   VISUAL (Visual Learners)

Gaya Belajar Visual (Visual Learners) menitikberatkan pada ketajaman penglihatan. Artinya, bukti-bukti konkret harus diperlihatkan terlebih dahulu agar mereka paham Gaya belajar seperti ini mengandalkan penglihatan atau melihat dulu buktinya untuk kemudian bisa mempercayainya. Ada beberapa karakteristik yang khas bagai orang-orang yang menyukai gaya belajar visual ini. Pertama adalah kebutuhan melihat sesuatu (informasi/pelajaran) secara visual untuk mengetahuinya atau memahaminya, kedua memiliki kepekaan yang kuat terhadap warna, ketiga memiliki pemahaman yang cukup terhadap masalah artistik, keempat memiliki kesulitan dalam berdialog secara langsung, kelima terlalu reaktif terhadap suara, keenam sulit mengikuti anjuran secara lisan, ketujuh seringkali salah menginterpretasikan kata atau ucapan.

Ciri-ciri gaya belajar visual ini yaitu :

1. Cenderung melihat sikap, gerakan, dan bibir guru yang sedang mengajar
2. Bukan pendengar yang baik saat berkomunikasi
3. Saat mendapat petunjuk untuk melakukan sesuatu, biasanya akan melihat teman-teman lainnya baru kemudian dia sendiri yang bertindak
4. Tak suka bicara didepan kelompok dan tak suka pula mendengarkan orang lain. Terlihat pasif dalam kegiatan diskusi.
5. Kurang mampu mengingat informasi yang diberikan secara lisan
6. Lebih suka peragaan daripada penjelasan lisan
7. Dapat duduk tenang ditengah situasi yang rebut dan ramai tanpa terganggu

 2.     AUDITORI (Auditory Learners )

Gaya belajar Auditori (Auditory Learners) mengandalkan pada pendengaran untuk bisa memahami dan mengingatnya. Karakteristik model belajar seperti ini benar-benar menempatkan pendengaran sebagai alat utama menyerap informasi atau pengetahuan. Artinya, kita harus mendengar, baru kemudian kita bisa mengingat dan memahami informasi itu. Karakter pertama orang yang memiliki gaya belajar ini adalah semua informasi hanya bisa diserap melalui pendengaran, kedua memiliki kesulitanuntuk menyerap informasi dalam bentuk tulisan secara langsung, ketiga memiliki kesulitan menulis ataupun membaca.

Ciri-ciri gaya belajar Auditori yaitu :

1. Mampu mengingat dengan baik penjelasan guru di depan kelas, atau materi yang didiskusikan dalam kelompok/ kelas
2. Pendengar ulung: anak mudah menguasai materi iklan/ lagu di televise/ radio
3. Cenderung banyak omong
4. Tak suka membaca dan umumnya memang bukan pembaca yang baik karena kurang dapat mengingat dengan baik apa yang baru saja dibacanya
5. Kurang cakap dalm mengerjakan tugas mengarang/ menulis
6. Senang berdiskusi dan berkomunikasi dengan orang lain
7. Kurang tertarik memperhatikan hal-hal baru dilingkungan sekitarnya, seperti hadirnya  anak baru, adanya papan pengumuman di pojok kelas, dll

 3.  KINESTETIK (Kinesthetic Learners)

Gaya belajar Kinestetik (Kinesthetic Learners) mengharuskan individu yang bersangkutan menyentuh sesuatu yang memberikan informasi tertentu agar ia bisa mengingatnya. Tentu saja ada beberapa karakteristik model belajar seperti ini yang tak semua orang bisa melakukannya. Karakter pertama adalah menempatkan tangan sebagai alat penerima informasi utama agar bisa terus mengingatnya. Hanya dengan memegangnya saja, seseorang yang memiliki gaya  ini bisa menyerap informasi tanpa harus membaca penjelasannya.

Ciri-ciri gaya belajar Kinestetik yaitu :

1. Menyentuh segala sesuatu yang dijumapinya, termasuk saat belajar
2. Sulit berdiam diri atau duduk manis, selalu ingin bergerak
3. Mengerjakan segala sesuatu yang memungkinkan tangannya aktif. Contoh: saat guru menerangkan pelajaran, dia mendengarkan sambil tangannya asyik menggambar
4. Suka menggunakan objek nyata sebagai alat bantu belajar
5. Sulit menguasai hal-hal abstrak seperti peta, symbol dan lambing
6. Menyukai praktek/ percobaan
7. Menyukai permainan dan aktivitas fisik

Demikianlah macam-macam gaya belajar mudah-mudahan dapat menjadi bahan acuan kita untuk menentukan cara belajar yang baik dan pas untuk kita sehingga mampu menyerap pelajaran dengan baik.

        KAJIAN TEORI DUAL CODING

Teori dual coding yang dikemukakan Allan Paivio (Paivio, 1971, 2006) menyatakan bahwa informasi yang diterima seseorang diproses melalui salah satu dari dua channel, yaitu channel verbal seperti teks dan suara, danchannel visual (nonverbal image) seperti diagram, gambar, dan animasi. Kedua channel ini dapat berfungsi baik secara independen, secara paralel, atau juga secara terpadu bersamaan (Sadoski, Paivio, Goetz, 1991). Kedua channel informasi tersebut memiliki karakteristik yang berbeda. Channel verbal memroses informasi secara berurutan sedangkan channel nonverbal memroses informasi secara bersamaan (sinkron) atau paralel.

Aktivitas berpikir dimulai ketika sistem sensory memory menerima rangsangan dari lingkungan, baik berupa rangsangan verbal maupun rangsangan nonverbal. Hubungan-hubungan representatif (representational connection) terbentuk untuk menemukan channel yang sesuai dengan rangsangan yang diterima. Dalam channel verbal, representasi dibentuk secara urut dan logis, sedangkan dalam channel nonverbal, representasi dibentuk secara holistik. Sebagai contoh, mata, hidung, dan mulut dapat dipandang secara terpisah, tetapi dapat juga dipandang sebagai bagian dari wajah. Representasi informasi yang diproses melalui channel verbal disebut logogen sedangkan representasi informasi yang diproses melalui channel nonverbal disebut imagen (lihat Gambar).

Hasil penelitian yang dilakukan oleh Paivio dan Bagget tahun 1989 dan Kozma tahun 1991, mengindikasikan bahwa dengan memilih perpaduan media yang tepat, kegiatan belajar dari seseorang dapat ditingkatkan (Beacham, 2002; Dede, 2000; Hogue, (?)). Sebagai contoh, informasi yang disampaikan dengan menggunakan kata-kata (verbal) dan ilustrasi yang relevan memiliki kecenderungan lebih mudah dipelajari dan dipahami daripada informasi yang menggunakan teks saja, suara saja, perpaduan teks dan suara saja, atau ilustrasi saja.

Menurut teori Dual Coding yang dikemukakan oleh Paivio, kedua channel pemrosesan informasi tersebut tidak ada yang lebih dominan. Namun demikian, Carlson, Chandler, dan Sweller tahun 2003 dalam (Ma, (?)) telah melakukan sebuah riset untuk melihat apakah pembelajaran yang dilakukan melalui diagram atau teks akan membantu kegiatan belajar. Carlson dan kawan-kawan mengasumsikan bahwa karena diagram lebih lengkap dibandingkan teks, dan dengan diagram seseorang mampu menghubungkan antara elemen yang satu dengan yang lainnya, maka orang yang belajar melalui diagram akan lebih berprestasi dibandingkan dengan orang yang belajar dengan menggunakan teks saja. Hasil penelitian menunjukkan bahwa untuk bahan belajar yang memiliki tingkat interaktivitas tinggi, kelompok yang belajar dengan menggunakan diagram memiliki prestasi lebih tinggi dibandingkan dengan yang hanya belajar dengan teks. Untuk bahan belajar yang tidak memiliki tingkat interaktivitas yang tinggi, kedua kelompok tidak menunjukkan perbedaan prestasi yang signifikan.

Sebagai tambahan kesimpulan dari teori dual coding ini jika dikaitkan dengan bagaimana seseorang memroses suatu informasi baru, dapat dinyatakan bahwa teori ini mendukung pendapat yang menyatakan seseorang belajar dengan cara menghubungkan pengetahuan yang baru dengan pengetahuan yang telah dimiliki sebelumnya (prior knowledge). Peneliti berpendapat bahwa seorang tenaga pemasaran yang memiliki masa kerja lebih lama juga memiliki prior knowledge yang lebih banyak dibandingkan dengan mereka yang memiliki masa kerja lebih pendek, sehingga dapat diharapkan bahwa para tenaga pemasaran yang memiliki masa kerja lebih lama akan lebih mudah memahami informasi baru yang disampaikan.

Teori Dual Coding juga menyiratkan bahwa seseorang akan belajar lebih baik ketika media belajar yang digunakan merupakan perpaduan yang tepat dari channel verbal dan nonverbal (Najjar, 1995). Sejalan dengan pernyataan tersebut, peneliti berpendapat bahwa ketika media belajar yang digunakan merupakan gabungan dari beberapa media maka kedua channel pemrosesan informasi (verbal dan nonverbal) dimungkinkan untuk bekerja secara paralel atau bersama-sama, yang berdampak pada kemudahan informasi yang disampaikan terserap oleh pembelajar.

Referensi

Beacham, N.A., Elliott, A.C, Alty, J.L., Al-Sharrah, A. Media Combinations and Learning Styles: A Dual Coding Approach. Association for the Advancement of Computing in Education (AACE), 2002.

Dede, Chris. \\\\\\\"Using Multiple Interactive Media to Enable Effective Teaching & Learning\\\\\\\". FETConnections, 2000. (http://www.fetc.org/fetcon/2000-February/multiple.html)

Hogue, Mike. \\\\\\\"Media Selection\\\\\\\".   (http://www.umdnj.edu/meg/legacy/hogue_mediaselection.htm).

Ma, Yue. \\\\\\\"Dual Coding Theory, Cognitive Load theory, and Their Applications in Computer Based Multimedia Design\\\\\\\". Northern Illinois University, (?) (http://cedu.niu.edu/.../642_materials/642_lit_review/ETT642_Ma_Literature.pdf)

Najjar, L.J. \\\\\\\"A Review of the Fundamental Effects of Multimedia Information Presentation on Learning\\\\\\\". Atlanta: School of Psychology and Graphic, Visualization, and Usability Laboratory, Georgia Institute of Technoloy, Atlanta. 1995. (http://www.cc.gatech.edu/gvu/reports/TechReports95.html)

Paivio, Allan. Imagery and Verbal Processes. New York: Holt, Rinehart & Winston, 1971.

Paivio, Allan. \\\\\\\"Dual Coding Theory and Education\\\\\\\" (Draft chafter for the Conference on \\\\\\\"Pathways to Literacy Achievement for High Poverty Children\\\\\\\", The University of Michigan School of Education, 2006.

Sadoski, M., Paivio, A., Goetz, E.  Commentary: A Critique of Schema Theory in Reading and Dual Coding Alternative. Reading Research Quarterly, 26(4), 1991.

Pengertian Teori Kognitif Menurut Para Ahli

          TEORI KOGNITIF

Pengertian Teori Kognitif Menurut Para Ahli

Pengertian Teori Kognitif - Istilah “Cognitive”berasal dari kata cognition artinya adalah pengertian, mengerti. Pengertian yang luasnya cognition (kognisi) adalah perolehan, penataan, dan penggunaan pengetahuan. Dalam pekembangan selanjutnya, kemudian istilah kognitif ini menjadi populer sebagai salah satu wilayah psikologi manusia / satu konsep umum yang mencakup semua bentuk pengenalan yang meliputi setiap perilaku mental yang berhubungan dengan masalah pemahaman, memperhatikan, memberikan, menyangka, pertimbangan, pengolahan informasi, pemecahan masalah, pertimbangan, membayangkan, memperkirakan, berpikir dan keyakinan. Termasuk kejiwaan yang berpusat di otak ini juga berhubungan dengan konasi (kehendak) dan afeksi (perasaan) yang bertalian dengan rasa. Menurut para ahli jiwa aliran kognitifis, tingkah laku seseorang itu senantiasa didasarkan pada kognisi, yaitu tindakan mengenal atau memikirkan situasi dimana tingkah laku itu terjadi.

Karakteristik Teori Kognitif

Teori belajar kognitiv lebih mementingkan proses belajar daripada hasil belajar itu sendiri. Belajar tidak sekedar melibatkan hubungan antara stimulus dan respon, lebih dari itu belajar melibatkan proses berpikir yang sangat kompleks. Belajar adalah perubahan persepsi dan pemahaman. Perubahan persepsi dan pemahaman tidak selalu berbentuk perubahan tingkah laku yang bisa diamati.

Tokoh-tokoh Teori Belajar Kognitif
1. Jean Piaget, teorinya disebut “Cognitive Developmental”.

 Dalam teorinya, Piaget memandang bahwa proses berpikir sebagai aktivitas gradual dan fungsi intelektual dari konkret menuju abstrak. Dalam teorinya, Piaget memandang bahwa proses berpikir sebagai aktivitas gradual dari fungsi intelektual dari konkret menuju abstrak. Piaget adalah ahli psikolog developmentat karena penelitiannya mengenai tahap tahap perkembangan pribadi serta perubahan umur yang mempengaruhi kemampuan belajar individu. Menurut Piaget, pertumbuhan kapasitas mental memberikan kemampuan-kemapuan mental yang sebelumnya tidak ada. Pertumbuhan intelektuan adalah tidak kuantitatif, melainkan kualitatif. Dengan kata lain, daya berpikir atau kekuatan mental anak yang berbeda usia akan berbeda pula secara kualitatif.Menurut Suhaidi Jean Piaget mengklasifikasikan perkembangan kognitif anak menjadi empat tahap:

• Tahap sensory – motor. yakni perkembangan ranah kognitif yang terjadi pada usia 0-2 tahun, Tahap ini diidentikkan dengan kegiatan motorik dan persepsi yang masih sederhana. 
• Tahap pre – operational, yakni perkembangan ranah kognitif yang terjadi pada usia 2-7 tahun. Tahap ini diidentikkan dengan mulai digunakannya symbol atau bahasa tanda, dan telah dapat memperoleh pengetahuan berdasarkan pada kesan yang agak abstrak. 
• Tahap concrete – operational, yang terjadi pada usia 7-11 tahun. Tahap ini dicirikan dengan anak sudah mulai menggunakan aturan-aturan yang jelas dan logis. Anak sudah tidak memusatkan diri pada karakteristik perseptual pasif.
• Tahap formal – operational, yakni perkembangan ranah kognitif yang terjadi pada usia 11-15 tahun. Ciri pokok tahap yang terahir ini adalah anak sudah mampu berpikir abstrak dan logis dengan menggunakan pola pikir “kemungkinan”. Dalam pandangan Piaget, proses adaptasi seseorang dengan lingkungannya terjadi secara simultan melalui dua bentuk proses, asimilasi dan akomodasi. Asimilasi terjadi jika pengetahuan baru yang diterima seseorang cocok dengan struktur kognitif yang telah dimiliki seseorang tersebut. Sebaliknya, akomodasi terjadi jika struktur kognitif yang telah dimiliki seseorang harus direkonstruksi/di kode ulang disesuaikan dengan informasi yang baru diterima.Dalam teori perkembangan kognitif ini Piaget juga menekankan pentingnya penyeimbangan (equilibrasi) agar seseorang dapat terus mengembangkan dan menambah pengetahuan sekaligus menjaga stabilitas mentalnya. Equilibrasi ini dapat dimaknai sebagai sebuah keseimbangan antara asimilasi dan akomodasi sehingga seseorang dapat menyatukan pengalaman luar dengan struktur dalamya. Proses perkembangan intelek seseorang berjalan dari disequilibrium menuju equilibrium melalui asimilasi dan akomodasi
  

2. Jerome Bruner Dengan Discovery Learningnya.
Bruner menekankan bahwa proses belajar akan berjalan dengan baik dan kreatif jika guru memberikan kesempatan kepada siswa untuk menemukan suatu konsep, teori, aturan, atau pemahaman melalui contoh-contoh yang ia jumpai dalam kehidupan. Bruner meyakini bahwa pembelajaran tersebut bisa muncul dalam tiga cara atau bentuk, yaitu: enactive,iconic dan simbolic.Pembelajaran enaktif mengandung sebuah kesamaan dengan kecerdasan inderawi dalam teori Piaget. Pengetahuan enaktif adalah mempelajari sesuatu dengan memanipulasi objek – melakukan pengatahuan tersebut daripada hanya memahaminya. Anak-anak didik sangat mungkin paham bagaimana cara melakukan lompat tali („melakukan‟ kecakapan tersebut), namun tidak terlalu paham bagaimana menggambarkan aktifitas tersebut dalam kata-kata, bahkan ketika mereka harus menggambarkan dalam pikiran. Pembelajaran ikonik merupakan pembelajaran yang melalui gambaran; dalam bentuk ini, anak-anak mempresentasikan pengetahuan melalui sebuah gambar dalam benak mereka. Anak-anak sangat mungkin mampu menciptakan gambaran tentang pohon mangga dikebun dalam benak mereka, meskipun mereka masih kesulitan untuk menjelaskan dalam kata-kata. Pembelajaran simbolik, ini merupakan pembelajaran yang dilakukan melalui representasi pengalaman abstrak (seperti bahasa) yang sama sekali tidak memiliki kesamaan fisik dengan pengalaman tersebut. Sebagaimana namanya, membutuhkan pengetahuan yang abstrak, dan karena simbolik pembelajaran yang satu ini serupa dengan operasional formal dalam proses berpikir dalam teori Piaget. Jika dikorelasikan dengan aplikasi pembelajaran, Discoveri learningnya Bruner dapar dikemukakan sebagai berikut:

• Belajar merupakan kecenderungan dalam diri manusia, yaitu Self-curiousity (keingintahuan) untuk mengadakan petualangan pengalaman. 
• Belajar penemuan terjadi karena sifat mental manusia mengubah struktur yang ada. Sifat mental tersebut selalu mengalir untuk mengisi berbagai kemungkinan pengenalan. 
• Kualitas belajar penemuan diwarnai modus imperatif kesiapan dan kemampuan secara enaktif, ekonik, dan simbolik. 
• Penerapan belajar penemuan hanya merupakan garis besar tujuan instruksional sebagai arah informatif. 
• Kreatifitas metaforik dan creative conditioning yang bebas dan bertanggung jawab memungkinkan kemajuan.
  

4. Teori Belajar Bermakna Ausubel.
Psikologi pendidikan yang diterapkan oleh Ausubel adalah bekerja untuk mencari hukum belajar yang bermakna, berikut ini konsep belajar bermakna David Ausubel. Pengertian belajar bermakna Menurut Ausubel ada dua jenis belajar :

1. Belajar bermakna (meaningful learning) dan 
2. belajar menghafal (rote learning).
   

Belajar bermakna adalah suatu proses belajar di mana informasi baru dihubungkan dengan struktur pengertian yang sudah dipunyai seseorang yang sedang belajar. Sedangkan belajar menghafal adalah siswa berusaha menerima dan menguasai bahan yang diberikan oleh guru atau yang dibaca tanpa makna. Sebagai ahli psikologi pendidikan Ausubel menaruh perhatian besar pada siswa di sekolah, dengan memperhatikan/memberikan tekanan-tekanan pada unsur kebermaknaan dalam belajar melalui bahasa (meaningful verbal learning).

Kebermaknaan diartikan sebagai kombinasi dari informasi verbal, konsep, kaidah dan prinsip, bila ditinjau bersama-sama. Oleh karena itu belajar dengan prestasi hafalan saja tidak dianggap sebagai belajar bermakna. Maka, menurut Ausubel supaya proses belajar siswa menghasilkan sesuatu yang bermakna, tidak harus siswa menemukan sendiri semuanya. Malah, ada bahaya bahwa siswa yang kurang mahir dalam hal ini akan banyak menebak dan mencoba-coba saja, tanpa menemukan sesuatu yang sungguh berarti baginya. Seandainya siswa sudah seorang ahli dalam mengadakan penelitian demi untuk menemukan kebenaran baru, bahaya itu tidak ada; tetapi jika siswa tersebut belum ahli, maka bahaya itu ada. Ia juga berpendapat bahwa pemerolehan informasi merupakan tujuan pembelajaran yang penting dan dalam hal-hal tertentu dapat mengarahkan guru untuk menyampaikan informasi kepada siswa. Dalam hal ini guru bertanggung jawab untuk mengorganisasikan dan mempresentasikan apa yang perlu dipelajari oleh siswa, sedangkan peran siswa di sini adalah menguasai yang disampaikan gurunya.

Belajar dikatakan menjadi bermakna (meaningful learning) yang dikemukakan oleh Ausubel adalah bila informasi yang akan dipelajari peserta didik disusun sesuai dengan struktur kognitif yang dimiliki peserta didik itu sehingga peserta didik itu mampu mengaitkan informasi barunya dengan struktur kognitif yang dimilikinya. Belajar seharusnya merupakan apa yang disebut asimilasi bermakna, materi yang dipelajari di asimilasikan dan dihubungkan dengan pengetahuan yang telah dipunyai sebelumnya. Untuk itu diperlukan dua persyaratan :

• Materi yang secara potensial bermakna dan dipilih oleh guru dan harus sesuai dengan tingkat perkembangan dan pengetahuan masa lalu peserta didik. 
• Diberikan dalam situasi belajar yang bermakna, faktor motivasional memegang peranan penting dalam hal ini, sebab peserta didik tidak akan mengasimilasikan materi baru tersebut apabila mereka tidak mempunyai keinginan dan pengetahuan bagaimana melakukannya. Sehingga hal ini perlu diatur oleh guru, agar materi tidak dipelajari secara hafalan.
  

Berdasarkan uraian di atas maka, belajar bermakna menurut Ausubel adalah suatu proses belajar di mana peserta didik dapat menghubungkan informasi baru dengan pengetahuan yang sudah dimilikinya dan agar pembelajaran bermakna, diperlukan 2 hal yakni pilihan materi yang bermakna sesuai tingkat pemahaman dan pengetahuan yang dimiliki siswa dan situasi belajar yang bermakna yang dipengaruhi oleh motivasi. Dengan demikian kunci keberhasilan belajar terletak pada kebermaknaan bahan ajar yang diterima atau yang dipelajari oleh siswa. Ausubel tidak setuju dengan pendapat bahwa kegiatan belajar penemuan (discovery learning) lebih bermakna daripada kegiatan belajar penerimaan (reception learning). Sehingga dengan ceramahpun, asalkan informasinya bermakna bagi peserta didik, apalagi penyajiannya sistematis, akan dihasilkan belajar yang baik.