TUGAS ISU-ISU KELOMPOK LIMA

AHLI MATEMATIKA MENGAJAR DAN MEMPELAJARI TENTANG PECAHAN

J.W WHITENACK and A.J. ELLINGTON

Dept. of Mathematics, Virginia Commonwealt University

Richmond, VA 23284-2014

Abstrak

Makalah ini menjelaskan kegiatan matematika berbasis pecahan dari dua guru yang merupakan bagian dari program persiapan Ahli Matematika. Pekerjaan mereka dengan pecahan diusut dari dua pandangan:

1)      interaksi mereka dengan siswa saat mereka berjuang dengan konsep pecahan; dan

2)      perjalanan pribadi mereka untuk mengembangkan pemahaman pecahan yang lebih dalam dari dasar pecahan pada bilangan rasional tentu merupakan bagian dari program gelar mereka. Melalui cerita mereka, kita mendapatkan pemahaman yang lebih baik tentang sifat kompleks pekerjaan mereka dengan siswa dan bagaimana partisipasi mereka dalam program Ahli Matematika membantu mendukung pekerjaan mereka di lingkungan sekolah.

Kata Pengantar

Kelompok sarjana pascasarjana pertama kami baru saja menyelesaikan program gelar master yang dipersiapkan untuk Ahli Matematika. Setelah menyelesaikan program gelar ini, para siswa ini juga berhak mendapatkan lisensi khusus untuk Ahlu Matematika. Dukungan ini merupakan bagian dari upaya menempatkan satu Ahli Matematika di sekolah K-8 Virginia untuk setiap 1.000 siswa, sebuah inisiatif yang direkomendasikan oleh Dinas pendidikan. Inisiatif ini belum menjadi rekomendasi yang didanai. Langkah menuju program K-8 ahli matematika ini sudah lama ditunggu dan merupakan hasil dari lebih dari dua dekade upaya di seluruh negara bagian yang dipelopori oleh Koalisi Matematika dan Ilmu Pengetahuan Virginia (VMSC), sebuah usaha kolaborasi antara pemangku kepentingan pendidikan di tingkat kabupaten, universitas, dan K-16.

Apa peran ahli matematika di Sekolah Dasar? Daftar tanggung jawab panjang dan tampaknya berkembang saat kami mempertimbangkan proposal baru-baru ini oleh matematikawan, pendidik matematika, dan organisasi seperti Koalisi Matematika dan Ilmu Pengetahuan Virginia [1-4]. Reys dan Fennell, misalnya, menggambarkan peran ahli matematika dengan menggunakan dua model: model pemimpin-guru atau model ahli-pengajaran-penugasan [3]. Ketika ahli matematika berfungsi dalam peran pemimpin guru, dia "dibebaskan dari instruksi kelas untuk mengambil tanggung jawab menasehati dan kepemimpinan di tingkat gedung atau level daerah" [3, 5]. Satu kemungkinan yang diharapkan seorang ahli matematika untuk merencanakan, mengajar bersama, melakukan pengamatan,model pelajaran, dan sebagainya [3]. Sebaliknya, ahli matematika yang bertugas dalam peran pengajaran khusus-mengajar menganggap, misalnya, tanggung jawab utama untuk mengajar matematika di tingkat kelas tertentu [3]. Spesialis Matematika kelas lima mungkin mengajar matematika untuk semua siswa kelas lima, dan juga memberikan pengembangan profesional untuk tim matematika kebawah (yaitu, ketiga, keempat, dan kelima). Reys dan Fennell menyarankan bahwa dalam kasus terakhir, guru kelas mengembangkan seperangkat kompetensi dan tanggung jawab yang lebih sempit [3].

The Virginia Mathematics and Science Coalition (VSMC) juga menawarkan visimereka tentang peran ahli matematika:

[K-8] Ahli matematika adalah pemimpin guru dengan persiapan dan latar belakang yang kuat dalam konten matematika, strategi instruksional, dan kepemimpinan sekolah. Berbasis di sekolah dasar dan menengah, ahli matematika adalah mantan guru kelas yang bertanggung jawab untuk mendukung pertumbuhan profesional rekan mereka dan mempromosikan pengajaran matematika dan pembelajaran siswa yang ditingkatkan di seluruh sekolah mereka. Mereka bertanggung jawab untuk memperkuat pemahaman guru kelas tentang konten matematika, dan membantu guru mengembangkan praktik pengajaran matematika yang lebih efektif yang memungkinkan semua siswa mencapai standar tinggi, serta berbagi penelitian yang membahas bagaimana siswa belajar matematika [6].

Seperti yang disarankan oleh VSMC, ahli matematika bertanggung jawab untuk mempromosikan dan mendukung pertumbuhan profesional bagi rekan mereka yang mengarah pada mendukung atau meningkatkan pembelajaran siswa.

Karakteristik yang digariskan dalam definisi ahli matematika ini telah menginformasikan pekerjaan kami dengan para guru. Program ini memiliki tujuan untuk mendukung peralihan ahli matematika menjadi peran yang sejajar dengan deskripsi yang ditawarkan oleh VSMC. Selain mengikuti Reys dan Fennell, kami berharap bahwa idealnya, lulusan program akan memperoleh posisi yang sesuai dengan model guru utama [3].

Selama beberapa tahun terakhir, kami telah melakukan upaya terpadu untuk memahami peran ahli matematika di berbagai aturan sekolah saat mereka menjadi atau terus ahli matematika. Sebagian dari proses ini, kami telah mengikuti enam dari dua puluh enam peserta dalam kelompok pertama dalam gelar program ini. Untuk mendokumentasikan kegiatan mereka, kami merekam semua pertemuan kelas untuk tiga dari lima kursus matematika dan dua dari tiga kepemimpinan pendidikan tersebut.Sebagai tambahan yang merupakan bagian dari program sarjana. Selain itu, kami melakukan kunjungan ke gedung sekolah masing-masing tiga tahun yang mereka ikuti dalam program ini. Selama kunjungan di sekolah kami, kami juga melakukan wawancara rekaman audio untuk membahas aspek pekerjaan mereka sehari-hari. Dengan mengumpulkan berbagai jenis informasi ini, kami telah berusaha untuk memahami bagaimana partisipasi mereka dalam mendukung program pascasarjana ini, sebagian, pekerjaan mereka dengan guru dan murid mereka. Artikel ini adalah usaha pertama kami untuk mengembangkan laporan yang mengkoordinasikan pengalaman mereka dalam program sarjana dengan pekerjaan mereka di lingkungan sekolah.

Ms. Smith dan Ms. Sneider

Untuk lebih memahami bagaimana pengalaman mereka dalam program gelar dapat mendukung pekerjaan harian para peserta di sekolah, kami menggunakan contoh yang diambil dari kedua perangkat data: kegiatan berbasis sekolah mereka dan partisipasi mereka dalam kegiatan tambahan. Dalam diskusi kami, kami menggunakan contoh yang diambil dari kunjungan sekolah kami di dua gedung sekolah peserta untuk menggambarkan bagaimana mereka menggunakan matematika dalam pekerjaan mereka sehari-hari. Kami kemudian menyoroti sebuah contoh dari salah satu diskusi kelas mereka dalam kursus berjudul Rational Numbers and Proportional Reasoning, salah satu kursus matematika dalam program sarjana mereka. Di sini, kami menceritakan dua lulusan baru kami, "Ms. Smith "dan" Ms. Sneider. "Tanggung jawab Ms. Sneider serupa dengan yang dijelaskan oleh model pemimpin-guru. Dia menjabat sebagai ahli matematika di gedung sekolahnya. Sebaliknya, tanggung jawab Ms. Smith lebih sesuai dengan model penetapan tugas spesialis - dia adalah seorang guru kelas reguler. Sewaktu kami menceritakan bagian dari cerita mereka, kami mencoba memahami apa peran mereka dan peran mereka didukung melalui partisipasi mereka dalam program ahli matematika.

Dalam kedua contoh berbasis sekolah kami, Ms. Smith dan Ms. Sneider bekerja dengan konsep serupa yang terkait dengan pemahaman awal siswa tentang pecahan. Contoh Ms. Smith diambil dari pengenalan pecahan yang dia ajarkan bersama guru lain sementara contoh Ms. Sneider diambil dari sebuah pelajaran yang dia ajarkan kepada sekelompok kecil siswa kelas lima. Kami pertama kali memberikan contoh pekerjaan sehari-hari mereka dan kemudian kami menjalin hubungan antara pengalaman lulusan Ms. Smith dan Ms. Sneider dengan pecahan dan peran kepemimpinan mereka di gedung sekolah masing-masing. Kami memulai diskusi kami dengan menceritakan sebagian kisah Ms. Smith.

Latar Belakang- "Bagian pecahan dari Dua Pizza yang Kiri?"

Ms. Smith saat ini mengajar kelas empat dan bertanggung jawab atas semua instruksi di semua bidang studi. Sebelum tahun ajaran 2006-07, Ms. Smith mengajar di sebuah sekolah di mana dia menjadi seorang guru kelas dasar selama enam tahun. Ms. Smith adalah salah satu pemimpin guru untuk pengajaran matematika dan sains di sekolahnya. Dia juga bekerja sama dengan pelatih pembangun matematika (yaitu, ahli matematika). Dia, pada kenyataannya, berharap untuk melayani dalam peran yang sama begitu dia menyelesaikan program ahli matematika. Setelah menyelesaikan tahun pertamanya dalam program ini, Ms. Smith ditugaskan kembali ke sekolah yang berbeda untuk tahun ajaran 2006-07. Selain mengajar disekolah yang berbeda, dia ditugaskan ke kelas baru di kelas empat. Sebelumnya Ms. Smith belum pernah mengajar kelas empat.

Salah satu cara bahwa Ms. Smith memanfaatkan peluang kepemimpinan sebagai guru kelas empat adalah melalui pengajaran matematika bersama dengan "Ms. Applebee, "seorang guru pendidikan khusus. Yang mengejutkan kami, kedua guru ini tidak saling mengenal sebelum mereka mulai bekerja sama. Seperti yang dikatakan Ms. Smith dalam sebuah wawancara, "Kami tidak mengenal satu sama lain dari sebatang kacang." Orang tidak menduga bahwa mereka belum pernah bekerja sama. Selama kunjungan pertama kami ke kelas mereka, kami menyadari bahwa mereka telah mengembangkan hubungan profesional yang kaya, kolaboratif.

Ms. Smith dan Ms. Applebee sering bertemu sebelum atau sesudah sekolah untuk merencanakan pelajaran matematika. Mereka sering bertukar pikiran tentang bagaimana mereka mengenalkan pelajaran, dimana siswa mungkin memerlukan dukungan tambahan, aktivitas apa yang akan mereka gunakan, dll. Kedua guru tersebut berdiri di depan ruangan selama diskusi kelas penuh, dan pindah dari satu kelompok ke kelompok lainnya selama kegiatan mandiri atau kerja kelompok kecil. Biasanya, Ms. Smith mengenalkan pelajaran dan mengatur seluruh diskusi kelas meskipun Ms. Applebee juga membantu memimpin diskusi.

Pelajaran- "Bagian pecahan dari Dua Pizza sebelah kiri itu?"

Kami mengambil contoh dari pelajaran pengantar yang kami amati tentang menambahkan pecahan. Untuk pelajaran ini, siswa memecahkan masalah berikut secara mendalam: "Patrick makan dari pizzapepperoni dan pizza keju. Berapa banyak pizza yang dia makan? "

Setelah para siswa memecahkan masalah ini dan beberapa masalah lainnya, Ms. Smith memimpin sebuah diskusi kelas penuh mengenai masalah di atas. Dia memulai diskusi dengan menanyakan kepada siswa apa persamaan yang mereka tulis untuk mewakili masalah ini. Dia kemudian bertanya kepada para siswa mengapa mereka memutuskan untuk menggabungkan dua bagian pecahan untuk menentukan apa yang telah dimakan Patrick.

Setelah siswa setuju bahwa Patrick sudah makan pizza seberat , Applebee bertanya kepada murid-murid mengapa jawabannya tidak , bukan  pizza. Saat Ms. Applebee menanyakan hal ini, para siswa menjadi diam. Sebelumnya, para siswa telah terlibat dalam diskusi yang meriah tentang mengapa jawabannya adalah  (lihat Gambar 1).

 

Gambar 1. Ms. Smith menggambar satu pepperoni dan satu keju pizza

Saat Ms. Applebee bertanya mengapa jawabannya tidak 4/16, para siswa tampak bingung. Ketika tidak ada siswa yang berusaha menjawab pertanyaan Ms. Applebee, Ms. Smith merujuk pada gambar pizza di papan tulis dan mengajukan pertanyaan yang berbeda. Dia bertanya kepada siswa apakah mereka bisa membuat satu pizza utuh dengan potongan potongan pepperoni dan keju yang tersisa (lihat Gambar 2).

Gambar 2. Satu irisan pepperoni dan tiga potong pizza keju hilang.

Menanggapi pertanyaan Ms. Smith, para siswa menjelaskan bagaimana mereka akan memindahkan tiga irisan pepperoni sisa ke pizza keju untuk membuat pizza utuh. Dengan menggunakan irisan pepperoni dan keju, mereka kemudian memiliki satu pizza utuh dan satu setengah dari sisa pizza kedua. Ms. Smith mencatat gagasan siswa menggunakan panah dan menggambar tiga potong untuk mengisi pizza keju (lihat Gambar 3). Dia juga menulis jumlah pecahan di bawah masing-masing pizza (lihat Gambar 4).

 

Gambar 3. Ms. Smith menggambarkan tiga irisan pepperoni untuk membuat satu pizza utuh.

Gambar 4. Ms. Smith menggambarkan satu pizza utuh dan satu setengah pizza untuk menggambarkan jumlah irisan yang tersisa.

Diskusi- "Bagian pecahan dari dua pizza yang tersisa?"

Seperti yang telah dipelajari, kami bertanya-tanya mengapa MS Applebee menanyakan pertanyaan ini pada saat itu. Apakah dia pernah berbicara dengan siswa yang telah memperoleh jawaban 4/16 ini bukan 4/8 untuk jawabannya? Atau apakah dia berharap bisa melibatkan siswa dalam diskusi tentang kesalahan umum yang dia lihat pada siswa lain saat mereka menggabungkan pecahan? Kami juga bertanya-tanya bagaimana Ms. Smith bisa mengatur diskusi berikut pertanyaan Ms. Applebee. Dari atas, kita tahu bahwa Ms. Smith memilih untuk tidak menjawab pertanyaan Ms. Applebee selama pelajaran ini. Sebagai gantinya, dia bertanya kepada siswa pertanyaan yang berbeda yang memfokuskan kembali diskusi seputar penggabungan pecahan dengan penyebut serupa. Pertanyaannya terbukti penting. Dengan mengajukan pertanyaan ini, siswa berkesempatan menggali gagasan terkait pembuatan pizza utuh (unit) dengan sisa irisan (kedelapan).

Ketika dia memulai langkah guru ini, dia juga secara tidak langsung mendukung Ms. Applebee bergerak selama bagian pelajaran ini. Meskipun pertanyaan Ms. Applebee penting bagi siswa untuk dipertimbangkan (pada titik tertentu selama unit pecahan ini), keputusan Ms. Smith untuk mengarahkan diskusi adalah langkah guru dan pembinaan yang penting. Saat Ms. Smith mengajukan pertanyaan ini,dia juga berada dalam posisi untuk mendukung Ms. Applebee saat memberikan kontribusi selama pelajaran berlangsung. Ketika Ms. Applebee mengajukan pertanyaan yang tampaknya tidak memajukan pemikiran siswa, Ms. Smith dapat mengajukan pertanyaan yang berbeda sehingga siswa dapat mempertimbangkan beberapa gagasan penting terkait menggabungkan pecahan. Dengan demikian, situasi ini memungkinkan kesempatan belajar bagi para siswa, juga untuk Ms. Smith dan Ms. Applebee. Dengan mengalihkan pertanyaan, siswa memiliki kesempatan untuk menggunakan gagasan untuk mengeksplorasi masalah lain yang melibatkan penambahan pecahan. Ms Applebee memiliki kesempatan untuk "melihat" kemungkinan langkah pengajaran yang mungkin lebih tepat pada tahap ini dalam bagian tentang pecahan. Untuk memfasilitasi perubahan dalam diskusi ini, Ms. Smith memikirkan gagasan matematis yang dia pahami tentang pecahan untuk mengatasi situasi yang tidak dia duga sebelum pelajaran ini.

Selama sesi tanya jawab kami yang mengikuti pelajaran, kami bertanya kepada Ms. Smith mengapa dia memutuskan untuk mengajukan pertanyaan tentang menggabungkan potongan pizza yang tersisa. Ms. Smith menjelaskan:

Jadi saya pikir di situlah saya mencoba mengembalikannya. "Jadi jika Anda memiliki pizza pepperoni ... Bisakah Anda membentuk kembali keseluruhan itu? Apakah itu mengubah berapa banyak potongan yang dipotong secara keseluruhan? "

Ms. Smith memilih untuk mengalihkan diskusi ke depan dengan menghubungkan masalah tersebut dengan gagasan yang telah dieksplorasi oleh siswa sebelumnya. Dua gagasan yang ingin dia hadapi adalah mereformasi keseluruhan dan melestarikan keseluruhan atau apa yang dia maksud sebagai "mengubah berapa banyak potongan."

Tanpa disuruh, dia kemudian menghubungkan pemikiran muridnya dengan gagasan yang dia hadapi di bilangan rasional. Tentu saja, dia berhasil meredam suasana memanas yang lalu:

Pemikiran siswa sangat menakjubkan bagiku. Sungguh menakjubkan bagiku - gagasan tentang bagian-bagian dan apa yang membentuk keseluruhan ... Beberapa hal yang sama seperti yang kita hadapi pada suasana memanas yang lalu di kelas [Bilangan Rasional] kita sendiri.

Ketika kami mengejar pengaruh kursus pengajarannya, dia menawarkan wawasan tambahan tentang bagaimana perubahan pendekatan instruksionalnya :

Oh, ya [tertawa]. Aku akan berada di sana tepat dengan mereka. "Baiklah, mari kita kembangkan dengan dua dan mendapatkan penyebut umum ..." Saya tidak akan tahu bagaimana cara mengajarkan topik matematika ini. Saya memiliki buku teks itu, dan saya akan menggunakan sedikit Matematika Inovatif dan saya akan mengatakan, "Saya tidak tahu saya harus pergi dari sini.” Dan saya melihat sedikit bagaimana kita akan sampai ke tempat-tempat itu ...

Dia memandang pengalamannya dalam tambahan itu penting karena dia bisa" melihat sedikit bagaimana kita akan sampai ke tempat-tempat itu. "- tempat yang perlu mereka jangkau saat dia mendukung pemahaman murid-muridnya tentang pecahan. Alih-alih mengikuti kurikulum seperti yang disajikan dalam panduan gurunya, dia bisa memulai diskusi seputar beberapa gagasan penting tentang pecahan. Jadi, karya Ms. Smith dalam kursus tersebut membantu sebagian, bagaimana dia bisa lebih mengajarkan gagasan seputar pecahan. Kami juga menduga bahwa pengalamannya dalam kursus memungkinkannya untuk menawarkan situasi potensial untuk melatih Ms. Applebee tentang cara mengajarkan gagasan mereka secara lebih efektif.

Kami sekarang mengalihkan perhatian kami pada karya Ms Sneider sebagai ahli matematika

Latar Belakang- "apakah Bagian Pecah Blok Pola Kuning?"

Ms. Sneider adalah ahli matematika yang aktif disekolahnya. Dia juga berhasil menyelesaikan Bilangan rasional selama musim panas yang lalu. Sebagai ahli matematika, salah satu tantangan yang dihadapinya adalah menjadwalkan waktu untuk mengunjungi guru di setiap tingkat sekolah sepanjang tahun ajaran. Sebagai bagian dari rencananya, dia bekerja dengan guru di tingkat kelas tertentu selama beberapa minggu, dan kemudian pindah ke kelas lain untuk bekerja dengan kelompok guru yang berbeda. Sewaktu dia bekerja dengan para guru, dia kadang-kadang mengikuti pelajaran atau melakukan kunjungan ke ruang kelas sementara guru mengajar pelajaran matematika. Ketika dia melakukan kunjungan kebawah, tidak jarang dia memberikan komentar selama pelajaran berlangsung. Ketika siswa menyelesaikan masalah yang ditugaskan saat mereka bekerja secara mendalam atau dalam kelompok kecil, dia biasanya berjalan mengelilingi ruangan, berhenti di meja siswa masing-masing untuk mengajukan pertanyaan klarifikasi, mendengarkan penjelasan siswa atau, dalam beberapa kasus, memberikan instruksi tambahan.

Selama dua tahun menjadi seorang ahli matematika, dia juga bekerja dengan sekelompok kecil siswa yang ditarik keluar dari kelas mereka untuk mendapat dukungan tambahan. Contoh kami ambil dari salah satu sesi penarikan ini. Dalam sesi penarikan khusus ini, Ms Sneider bekerja dengan sekelompok kecil siswa kelas lima yang terus berjuang untuk memahami pecahan. Guru kelas lima memintanya untuk bekerja dengan para siswa ini untuk mempersiapkan mereka dalam penilaian kuartalan gedung sekolah yang akan datang - penilaian benchmark dalam persiapan ujian matematika di seluruh negara bagian.

Pelajaran- "Bagian Pecahan Apa itu Blok Pola Kuning?"

Ms Sneider memulai sesi ini dengan meminta siswa membuat bentuk segi enam kuning (unit) dengan menggunakan blok pola lainnya. Blok pola terdiri dari enam bentuk geometris: segitiga sama sisi hijau, rimpang biru, rimpang coklat, kotak oranye, trapesium merah, dan heksagonal kuning (lihat Gambar 5). Blok merah, hijau, dan biru bisa digunakan untuk membuat blok kuning. Blok hijau dapat digunakan untuk membuat blok biru atau balok merah, dsb. Karena masing-masing siswa menjelaskan konfigurasi blok pola mereka, mereka tampak bingung tentang bagian pecahan mana dari enam segitiga hijau yang diwakili. Meskipun beberapa siswa menyatakan dengan benar bahwa satu segitiga hijau mewakili 1/6 (misal, karena enam segitiga hijau menghasilkan satu segi enam), tidak jelas apakah siswa memahami bahwa enam potongan segitiga ini harus berukuran sama. Untuk mengatasi kesalahpahaman ini, Ms Sneider membuat bentuk yang berbeda dengan menggunakan semua 6 bentuk (lihat Gambar 5). Dia menyebut konfigurasi ini sebagai "kue yang funky."

 

Gambar 5. Ms Sneider membuat "kue funky" dengan menggunakan semua enam blok pola

Setelah Ms Sneider membuat kue yang funky ini, dia bertanya kepada murid-murid apa pecahan blok segi enam kuning itu yang terwakili. Tidak mengherankan, siswa tidak yakin apa bagian pecahan ini. Dia kemudian bertanya apakah dia bisa membagikan kue itu secara adil dengan memberi setiap siswa satu dari enam keping ini. Mengikuti pertanyaannya, para siswa menyatakan bahwa jika dia berbagi kue yang funky, dia tidak akan membagikan kuenya secara adil. Setelah beberapa diskusi, beberapa siswa membuat bentuk yang berbeda dengan menggunakan balok biru dan hijau dan dengan tepat menjelaskan bagaimana mereka bisa membagi hasil karya mereka dengan membagi-bagikan blok sehingga setiap orang dapat menerima jumlah yang sama.

Diskusi- "Bagian Pecahnya Apakah Blok Pola Kuning?"

Saat kami mengamati sesi ini, kami tidak sadar bahwa Ms Sneider telah memutuskan untuk mengubah rencana pelajarannya. Seperti yang dia jelaskan kemudian selama sesi tanya jawab kami, dia menyadari bahwa para siswa tidak selalu mengerti bahwa masing-masing 1/6 dibutuhkan ukuran yang sama. Para siswa mengerti bahwa mereka membutuhkan enam buah untuk membuat keseluruhan, tapi ternyata tidak pahamilah bahwa potongan itu perlu ukuran yang sama. Begitu menyadari bahwa mereka tidak memiliki pemahaman yang solid tentang bagian pecahan mana, dia memutuskan untuk membatalkan rencana pelajaran aslinya-membantu siswa mengubah fraksi yang tidak tepat ke fraksi campuran (misalnya, 5/3 = 1⅔) menggunakan blok pola. Alih-alih mengenalkan aktivitas baru, dia mengajukan beberapa tugas di mana siswa menggunakan blok pola untuk membuat keseluruhan.

Keputusannya untuk mengajukan "masalah kue yang funky" merupakan poin penting dalam pelajaran yang direvisi. Keputusannya untuk membuat konfigurasi blok pola yang melibatkan potongan yang tidak sama sangat penting karena secara eksplisit menyoroti kesalahpahaman yang dimiliki siswa tentang bagian pecahan.

Pengamatan

Kedua contoh kami menggambarkan bagaimana Ms. Smith dan Ms. Sneider menggunakan pemahaman mereka tentang gagasan matematis kunci untuk mendukung penalaran siswa mereka tentang bagian pecahan. Menyimpulkannya, walaupun mereka tidak merencanakan untuk mengajukan masalah khusus ini, mereka berdua membuat keputusan penting dan on-the-fly yang memajukan tujuan instruksional mereka. Mereka menggunakan pemahaman mereka tentang gagasan matematika yang terkait dengan pecahan dengan cara yang unik saat mereka bekerja dengan murid mereka.

Salah satu alasan mengapa mereka dapat melakukannya adalah karena pengalaman mereka dalam Rational Numbers, sebuah kursus yang telah mereka selesaikan selama musim panas sebelumnya. Ingatlah bahwa Ms. Smith benar-benar mengacu pada pentingnya Rational Numbers dalam sesi tanya jawab. Ms Sneider juga menyebutkan selama sesi tanya jawab bahwa pengalamannya dalam Rational Numbers adalah alasan mengapa dia dapat mengajukan jenis tugas ini, tugas yang menantang siswa untuk memikirkan gagasan penting tentang pecahan. Lantas apa peluang peserta untuk mengeksplorasi dan membangun ide baru tentang pecahan? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita beralih ke contoh kita dari kursus.

Menjelajahi Angka Rasional- "Bisakah Anda Menemukan Fraksi antara 1/11 dan 1/10?"

Untuk menggambarkan jenis pengalaman yang mereka dapatkan selama Angka Rasional, kami menyoroti bagian dari salah satu pelajaran yang terjadi selama minggu kedua kursus. . Untuk pelajaran ini, para peserta mengeksplorasi suatu kegiatan dari "Bits and Pieces: Part I," salah satu modul pecahan dari seri kurikur Matematika Terikat [7]. Untuk memulai pelajaran ini, instruktur kursus meminta peserta, dalam kelompok kecil, untuk menemukan pecahan antara 1/11 dan 1/10. Peserta telah memecahkan masalah yang sama untuk pekerjaan rumah (yaitu, "Dapatkah Anda menemukan pecahan antara 1/10 dan 1/9?").

Menjelajahi Angka Rasional-Pelajaran

Untuk mengenalkan masalah ini, instruktur kursus menarik potongan pecahan dan saat diskusi berlanjut, dia menjelaskan bagaimana dia bisa menggunakan strip fraksi untuk mewakili pecahan-pecahan yang berbeda ini (lihat Gambar 6):

Dan ingat bahwa kami sedang bekerja dengan potongan-potongan potongan strip ini. Kami melihat-lihat pecahan-pecahan itu [menggambar sebuah gambar dari potongan fraksi yang tidak bertanda di papan tulis] dan menandai mereka sehingga dengan melipatnya dulu di sini, kami memiliki ½ [membuat tanda dan tulis ½, dan membaginya menjadi empat bagian]. Dan ini tentu saja akan menjadi 2/4 [tulis angka-angka ini di bagian pecahan] ... Angka rasional ada yang mewakili jarak dari 0. Jadi, itu salah satu cara - cara yang sangat alami dengan angka rasional muncul sebagai jarak. Ingatlah bahwa kita memperpanjangnya sehingga melampaui 1 [melebarkan potongan pecahan dan menulis 1 pada tanda hash yang mewakili 4/4].

Gambar 6. Instruktur menggunakan strip fraksi untuk mewakili ¼, ½, ¾, dan 1.

Seiring diskusi berlanjut, instruktur kursus bertanda kira-kira di mana 1/10 dan 1/9 berada di jalur ini (lihat Gambar 7). Setelah menandai angka-angka ini di nomor strip,

Dia bertanya kepada peserta apakah mereka bisa memikirkan fraksi yang lebih kecil dari 1/10. Beberapa peserta, serentak, mengatakan bahwa 1/11 adalah pecahan yang lebih kecil dari 1/10.

Gambar 7. Instruktur menggunakan strip fraksi untuk mewakili 1/11 dan 1/10.

Seiring diskusi berlanjut, dia mengajukan masalah yang akan mereka jelajahi dalam kelompok kecil mereka:

Ada banyak angka yang kurang dari 1/10, tapi satu yang bagus, yaitu kurang dari 1/10 adalah 1/11. Hanya untuk mendapatkan diri kita pergi lagi, di masing-masing meja, cari tahu cara untuk menemukan angka rasional antara 1/10 dan 1/11 ... Maka saya akan meminta Anda untuk datang dan berbagi dengan kami.

Peserta mulai bekerja dengan orang lain yang duduk di meja mereka untuk merancang atau memperbaiki metode mereka untuk menemukan pecahan antara 1/11 dan 1/10.

Ms. Smith dan Ms. Sneider bekerja dengan dua peserta lainnya di meja mereka. Ms Sneider berbicara sebentar tentang satu metode peserta. Ms. Smith menggunakan pendekatan Ms. Sneider untuk menemukan fraksi lainnya. Ketika kami mengajukan pertanyaan tentang metode solusinya, Ms Sneider menjelaskan gagasannya tentang menemukan pecahan antara 1/10 dan 1/9, masalah pekerjaan rumah:

Di lain malam ketika saya mengetahui masalah ini. Saya pikir, oh, akhirnya saya menemukan pecahan antara dua [pecahan] ini. Dan kemudian aku membiarkannya beristirahat. Dan kemudian kita datang ke sini; Kami membicarakannya dan segalanya. Yah, aku tidak bisa mendapatkan masalah itu dari sayapikiran, jadi saya memikirkannya lebih dari akhir pekan, dan akhirnya saya berpikir, "Bagaimana jika saya tidak [kalikan dengan] 2, bagaimana jika saya dikalikan dengan 3?" Maka saya akan berumur 3/30, dan 3/33. Dan akan ada dua pecahan ... 31 dan 32nd yang bisa pergi. Lalu saya berpikir, "Bagaimana jika saya memperbanyaknya dengan 4?" Dan Anda bisa memperbanyaknya dengan apapun. Jadi, ini membuat Anda dekat-jika Anda terus-ada jumlah [pecahan] yang tak terhingga. Tapi itu adalah momen "aha" ketika saya menyadari bahwa Anda dapat melakukannya dengan lebih dari sekedar [mengalikan] 2!

Seperti komentarnya, Ms. Sneider tahu bahwa dia bisa menghasilkan pecahan setara dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan nomor yang sama. Sebenarnya, dia mengklaim bahwa dia bisa menemukan jumlah pecahan yang tak terbatas antara 1/10 dan 1/11. Saat Ms Sneider berkomentar ini, Ms. Ms.Con mengangguk setuju.

Kami juga berbicara dengan Ms. Smith tentang metodenya untuk menemukan pecahan. Ms. Smith menjelaskan bahwa dia mengalikan keduanya 1/10 dan 1/11 dengan 4/4 untuk mengubah nama mereka menjadi 4/40 dan 4/44. Saat dia menjelaskan jawabannya, dia menunjuk pada Ms Sneider seolah-olah untuk menunjukkan bahwa dia telah memutuskan untuk menggunakan metode Ms. Sneider untuk menemukan pecahan ini:

Saya hanya ingin melihat apakah saya dapat melakukan ini dengan cara yang berbeda [menunjuk pada Ms. Sneider ]. Jadi saya mencoba lebih dari 42; itulah yang saya lakukan ... Jadi saya hanya membagi 4 dan 42 dan itu masih dikurangi menjadi 2/21.

Jadi Ms. Smith menggunakan metode yang mirip dengan yang digunakan Ms Sneider untuk menemukan pecahan antara 1/10 dan 1/9. Bagian pertama dari komentarnya, "Saya hanya ingin melihat apakah saya bisa melakukan ini dengan cara yang berbeda" adalah penasaran. Apakah pada awalnya dia memecahkan masalah ini secara berbeda? Ternyata, dia punya. Untuk usaha pertamanya mengatasi masalah ini, dia telah menggunakan kalkulator untuk mengganti nama setiap fraksi sebagai ekuivalen desimalnya, dan kemudian menemukan angka desimal lebih besar dari 0,0909 dan lebih kecil dari 1000. Dia menggunakan metode Ms. Sneider untuk menemukan hasilnya setelah dia menggunakan metode desimal. Jadi dia menggunakan metode Ms. Sneider untuk bereksperimen dengan metode yang berbeda.

Untuk memulai seluruh diskusi kelas, instruktur kursus meminta salah satu peserta untuk membagikan metodenya dengan kelas. Seperti Ms. Smith, peserta ini berbagi bahwa kelompoknya bertukar 1/10 dan 1/11 menjadi setara desimal mereka. Dia menjelaskan bahwa 1/10 setara dengan 0,1000 dan 1/11 setara dengan desimal yang berulang .09090 ... Jadi, 0,095 (atau 95/1000) adalah salah satu pecahan antara 1/11 dan 1/10. Setelah peserta ini membagikan gagasan ini, Ms. Sneider menyarankan, tanpa disuruh, bahwa dia juga bisa memilih .091, .092, .093, ... atau .099. Dia kemudian berpendapat bahwa untuk menemukan desimal (dan setara dengan pecahannya), seseorang hanya perlu menambahkan digit, dalam hal ini, di tempat keseratus. Dia kemudian menghubungkan strategi ini dengan bagaimana seseorang menambahkan digit untuk memanipulasi bilangan bulat-92 adalah satu lebih dari 91, 93 adalah satu lebih dari 92, dll. ecil dari, 1000. Dia menggunakan metode Ms. Sneider untuk menemukan hasilnya setelah dia menggunakan metode desimal. Jadi dia menggunakan metode Ms. Sneider untuk bereksperimen dengan metode yang berbeda.

Seiring diskusi berlanjut, peserta lain berbagi metode kelompoknya untuk menemukan fraksi lainnya. Dia menjelaskan bahwa dia pertama kali mengonversi 1/11 menjadi 10/110 dan 1/10 sampai 11/110. Kemudian, dia menyatakan bahwa 10 ½ / 110 berada di tengah antara 10/110 dan 11/110. Dia menunjukkan fakta ini dengan menggambar garis angka terbuka dan menandai 1/11 dan 1/10 pada baris angka ini. Dia kemudian menarik garis di tengah-tengah kedua pecahan ini dan menunjukkan bahwa tanda pada garis angka ini adalah posisi pecahan yang mereka temukan. Pada titik ini dalam diskusi, instruktur kursus beralih ke keseluruhan kelas dan mengajukan pertanyaan tentang metode kelompok ini. Saat melakukannya, dia kembali mengacu pada potongan pecahan:

Intruksi                        :Sebelum Anda melangkah lebih jauh ke sana, jika Anda memiliki salah satu dari potongan frase ini, berapa banyak potongan yang akan dilipat menjadi sekarang?

Participant       : [serempak] 110

instruktur                     :110 buah. Dapatkah Anda pergi dari benar-benar melipat 8 atau melipat 12, untuk benar-benar berpikir dalam pikiran Anda 110 lipatan? Saya tidak bisa melakukan 110 lipatan; Aku tidak begitu bagus. Tapi saya agak berpikir seolah-olah saya telah melipat 12 kali. Itu ide yang sama. Jadi dilipat menjadi 110 potongan kecil.

Selagi diskusi berlanjut, peserta menjelaskan bahwa kelompoknya berjuang dengan cara mewakili 10½ / 110. Karena mereka tidak menyukai bagaimana fraksi baru mereka ditulis (yaitu pecahan yang tidak tepat), mereka membagi setiap 1/110 dan menciptakan potongan-potongan kecil yang berukuran 1/110, 1/220.

Sekali lagi, instruktur tersebut menanyakan pertanyaan klarifikasi tentang bagaimana kelompok ini menghasilkan potongan-potongan yang lebih kecil ini. Dia pertama kali bertanya apakah kelompoknya telah melipat (atau membayangkan melipat) masing-masing menjadi dua bagian. Setelah menanggapi lagi bahwa mereka akan memiliki 220 buah, peserta kemudian menjelaskan bahwa setelah membelah masing-masing bagian menjadi dua, mereka bisa mengganti nama 10/110 menjadi 20/220 dan 11/110 menjadi 22/220. Dengan mengganti nama 10 ½ / 110 sebagai 21/220, mereka mengurus "masalah" mereka bekerja dengan pecahan yang tidak benar. Jadi 21/220 adalah satu pecahan yang tepat yang mereka temukan yaitu antara 1/11 dan 1/10.

Seiring diskusi seluruh kelas berlanjut, beberapa peserta lainnya menjelaskan bagaimana mereka menggunakan metode yang berbeda untuk menemukan pecahan antara 1/11 dan 1/10. Kelompok lain, misalnya, berganti nama menjadi 1/11 dan 1/10 menjadi 3/33 dan 3/30. Mereka kemudian menjelaskan bahwa mereka dapat menemukan dua fraksi di antara kedua fraksi ini, 3/32 dan 3/31. Untuk membenarkan jawaban mereka, mereka menjelaskan bahwa strategi mereka serupa dengan saat seseorang memesan pecahan unit, ½, 1/3, ¼, 1/5 ... Untuk menemukan sebagian kecil, mereka hanya perlu menambah penyebutnya selama masing-masing pecahan ini memiliki pembilang yang sama.

Ketika diskusi berlanjut, instruktur kursus mengklarifikasi penjelasan peserta dan mengajukan pertanyaan untuk memeriksa pemahaman para peserta. Sepanjang pelajaran, peserta memiliki kesempatan untuk memahami metode orang lain untuk menemukan pecahan antara dua fraksi yang diberikan. Ketika mereka melakukannya, mereka mulai menjelajahi properti kerapatan, salah satu properti penting yang unik untuk himpunan Rational Numbers (dan Real Numbers).

Menjelajahi Bilangan Rasional-Diskusi

Pada awal pelajaran ini, kita melihat bahwa instruktur kursus menggunakan pendekatan yang berbeda untuk mengenalkan gagasan - sebuah pendekatan yang tampaknya sangat berbeda dari pelajaran tradisional tentang pemesanan pecahan. Instruktur kursus, misalnya, mengacu pada pecahan yang berbeda sebagai jumlah yang mewakili jarak yang bisa dia tandai pada strip fraksi "terbuka".

Perannya selama pelajaran juga berbeda. Setelah menyelesaikan masalah, para peserta bekerja dengan pasangan mereka untuk menyelesaikan tugas tersebut. Ketika mereka punya waktu untuk mengatasi masalah ini, instruktur kursus mengumpulkan kembali kelas dan meminta kelompok yang berbeda untuk menjelaskan metode mereka untuk menemukan pecahan antara dua fraksi. Dia menawarkan dukungan, mengajukan pertanyaan klarifikasi, dan menyoroti aspek metode mereka selama diskusi kelas penuh. Dengan demikian, dia dan para peserta membangun sebuah lingkungan dimana normatif untuk menjelaskan dan membenarkan gagasan mereka, dan untuk mewakili gagasan mereka. Menariknya, karakterisasi lingkungan belajar ini sesuai dengan apa yang biasa disebut sebagai pertanyaan tradisi matematika [8].

Salah satu ciri penyelidikan matematika adalah bahwa para peserta dipikirkan untuk bekerja dengan gagasan dan representasi yang merupakan objek matematika yang nyata secara eksperimental [8]. Dalam contoh kita, ada beberapa contoh instruktur dan peserta melakukannya. Instruktur, pada bagiannya, sering merujuk pada gagasan para peserta dengan menggunakan strip fraksi untuk memodelkan gagasan. Saat melakukannya, dia berbicara tentang pecahan sebagai nilai atau memiliki jarak. Dia juga menyebut model ini saat dia menjelaskan penjelasan para peserta. Akibatnya, dia memberi kesempatan kepada orang lain untuk melakukannyamengerti alasan kelompok Selanjutnya, jika peserta bingung, mereka juga bisa membayangkan menggunakan strip fraksi untuk menghasilkan pecahan setara. Jadi, saat dia memfasilitasi keseluruhan diskusi kelas, dia secara implisit mengkomunikasikan bahwa dia menghargai jenis penjelasan ini, yang menurut peserta masuk akal dengan pecahan.

Bagi mereka, para peserta diwajibkan memberikan penjelasan yang sesuai dengan pemahaman mereka tentang pecahan. Ingat, misalnya, bahwa ketika menjelaskan bagaimana kelompoknya menamai ulang 10½ / 110, salah satu peserta menarik garis angka untuk menunjukkan di mana fraksi ini berada di atasnya. Dia juga menjelaskan bahwa kelompoknya membayangkan menggunakan strip fraksi (disarankan pertama oleh salah satu instruktur kursus lainnya) untuk membagi masing-masing 110 buah untuk menemukan fraksi yang setara dengan 10½ / 110. Daripada hanya menerapkan prosedur untuk mengalikan pembilang dan penyebut dengan 2, peserta menjelaskan alasan di balik prosedur ini.

Selain itu, saat para peserta bekerja dalam kelompok kecil, mereka terus mempertahankan standar ini. Usaha Ms. Smith untuk mencoba metode Ms. Sneider adalah contoh kasusnya. Karena dia menggunakan metode Ms. Sneider, dia juga memiliki kesempatan untuk membangun beberapa pemahaman baru. Ms Sneider juga terus mengejar gagasan yang akhirnya membuatnya mengembangkan argumen untuk properti kepadatan untuk Angka Nyata.

Komentar Akhir

Dalam diskusi kami, kami telah membahas bagaimana gagasan yang dieksplorasi peserta dalam kursus dapat berlangsung dalam kehidupan mereka sendiri karena mereka bekerja dengan para guru dan murid mereka. Dalam kasus Ms. Smith, dia mendapat kesempatan tidak hanya untuk memfasilitasi pemahaman murid-muridnya, tetapi juga untuk menciptakan kesempatan bagi Ms. Applebee untuk merenungkan bagaimana dia dapat memfasilitasi pemahaman siswa secara lebih efektif. Meskipun kami tidak tahu apakah Ms. Smith memanfaatkan hal ini, kami bisa membayangkan diskusi kaya yang dia dan Ms. Applebee miliki saat mereka menasihati pelajaran ini. Demikian pula, jika Ms Sneider memiliki kesempatan untuk berbagi dengan guru kelas lima, dia dan gurunya dapat memiliki percakapan yang kaya tentang gagasan penting yang mendukung tugas "kue yang funky". Ms Sneider, bagaimanapun, harus bekerja keras untuk membuat praktik instruksionalnya eksplisit bagi gurunya karena mereka tidak hadir dalam sesi penarikan. Ini mengatakan, akan sangat disayangkan jika dia tidak memiliki kesempatan untuk berbagi apa yang terjadi selama sesi penarikan ini. Meskipun murid-muridnya mungkin mendapatkan keuntungan dari pengalaman ini, guru mereka mungkin tidak memiliki kesempatan untuk memikirkan secara cermat dan mendalam tentang sifat kesalahpahaman siswa mereka tentang pecahan. Menariknya, Ms. Smith berada dalam posisi yang jauh lebih baik untuk secara positif mempengaruhi praktik mengajar rekannya. Meskipun Ms. Smith adalah orang biasa

guru kelas dan Ms. Sneider adalah seorang Spesialis Matematika, dalam dua contoh kita tampaknya memiliki peran sementara.

Kami juga telah membahas peran penting yang mungkin dimainkan oleh Rational Number dalam mendukung pembelajaran matematika para peserta. Peran instruktur sangat penting di sini. Dia mewajibkan peserta untuk memahami metode satu sama lain. Dia juga mendukung mereka saat mereka memberi penjelasan dengan mengajukan pertanyaan klarifikasi dan menguraikan gagasan penting yang mereka hadapi.

Kami menduga bahwa pengalaman kursus memberi kesempatan kepada Ms. Smith dan Ms. Sneider untuk mempertimbangkan secara mendalam tentang pecahan. Kami juga memiliki bukti bahwa mereka memanfaatkan gagasan ini entah bagaimana saat mereka membuat keputusan instruksional untuk mendukung pembelajaran siswa mereka. Sebenarnya, mereka tampaknya terus memikirkan gagasan, bahkan setelah kursus berakhir. Seperti yang ditunjukkan oleh contoh-contoh kami, mereka menemukan cara-cara penting untuk menggunakan pemahaman mereka tentang gagasan ini secara novel, namun berbeda.

Karena kami terus mengeksplorasi sejumlah besar data yang telah kami kumpulkan selama beberapa tahun terakhir, kami dapat memperoleh wawasan baru tentang bagaimana pengalaman kursus yang berbeda mendukung pekerjaan harian para peserta di sekolah. Mungkin kita juga akan menemukan beberapa cara agar program ini lebih baik melayani Spesialis Matematika saat mereka beralih ke peran kepemimpinan mereka. Bisakah kita memperbaiki kursus yang kita tawarkan? Apakah ada pengalaman kursus lain yang bisa lebih mendukung pekerjaan sehari-hari mereka? Seiring kita melintasi data, kami berharap bisa menjawab pertanyaan-pertanyaan ini dan juga pertanyaan lainnya. Pada saat ini, bagaimanapun, kita hanya mengagumi sejauh mana karya peserta telah benar-benar memulai kehidupannya sendiri.

Ucapan Terima Kasih

Karya ini merupakan bagian dari proyek lima tahun, "Persiapan Spesialis Matematika Virginia," didukung oleh National Science Foundation - EHR 0412324. Artikel ini melaporkan penelitian yang didanai oleh proyek ini. Pendapat yang diungkapkan dalam artikel ini hanyalah pendapat penulis dan belum tentu pandangan yang dipegang oleh lembaga pendanaan.